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2020版理数(苏教版)练习:第3章 第1节 导数的概念及其运算 Word版含解析

一、填空题

1

1.已知曲线y=

x

上一点A(1,1),则该曲线在点A处的切线方程为________.

11

解析:y′=(

x

)′=-

x

2

,故曲线在点A(1,1)处的切线的斜率为-1,故所求的切

线方程为y-1=-(x-1),即为x+y-2=0.

答案:x+y-2=0

2.已知f(x)=x

2

+3xf′(2),则f′(2)=________.

解析:由题意得f′(x)=2x+3f′(2),

∴f′(2)=2×2+3f′(2),

∴f′(2)=-2.

答案:-2

3.若曲线f(x)=x

4

-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为

________.

解析:设P(x

,y

),∵f′(x)=4x

3

-1,

33

∴f′(x

)=4x

-1,由题意知4x

-1=3,

∴x

=1,则y

=0.即P(1,0).

答案:(1,0)

4.点P是曲线x

2

-y-2ln x=0上任意一点,则点P到直线y=x-2的最短距

离为________.

1

解析:y=x

2

-2lnx=x

2

-ln x,y′=2x-

x

11

令y′=1,即2x-

x

=1,解得x=1或x=-

2

(舍去),故过点(1,1)且斜率为1的

切线为:y=x,其到直线y=x-2的距离2即为所求.

答案:2

ππ

5.已知函数f(x)=f′(

4

)cos x+sin x,则f(

4

)的值为________.

ππππππ

解析:因为f′(x)=-f′(

4

)sin x+cos x,所以f′(

4

)=-f′(

4

)·sin

4

+cos

4

⇒f′(

4

)

=2-1,

πππππ

故f(

4

)=f′(

4

)cos

4

+sin

4

⇒f(

4

)=1.

答案:1

6.设直线y=-3x+b是曲线y=x

3

-3x

2

的一条切线,则实数b的值是________.

解析:求导可得y′=3x

2

-6x,由于直线y=-3x+b是曲线y=x

3

-3x

2

的一条

切线,所以3x

2

-6x=-3,解得x=1,所以切点为(1,-2),同时该切点也在直

线y=-3x+b上,所以代入直线方程可得b=1.

答案:1

7.等比数列{a

n

}中,a

1

=2,a

8

=4,函数f(x)=x(x-a

1

)·(x-a

2

)…(x-a

8

),则f′(0)

=________.

解析:f′(x)=x′·[(x-a

1

)(x-a

2

)…(x-a

8

)]+[(x-a

1

)(x-a

2

)…(x-a

8

)]′·x

=(x-a

1

)(x-a

2

)…(x-a

8

)+[(x-a

1

)(x-a

2

)…(x-a

8

)]′·x

所以f′(0)=(0-a

1

)(0-a

2

)…(0-a

8

)+[(0-a

1

)(0-a

2

)…(0-a

8

)]′·0=a

1

a

2

…a

8

.

因为数列{a

n

}为等比数列,所以a

2

a

7

=a

3

a

6

=a

4

a

5

=a

1

a

8

=8,所以f′(0)=8

4

=2

12

.

答案:2

12

sin θ3cos θ

8.设函数f(x)=

3

x

3

2

x

2

+tan θ,其中θ∈[0,

12

],则导数f′(1)的取

值范围是________.

解析:f′(1)=(sin θx

2

+3cos θ·x)|

x

1

π

=sin θ+3cos θ=2sin(θ+

3

).

∵θ∈[0,

12

],

ππ3π

∴θ+

3

∈[

3

4

],

π

2

∴sin(θ+

3

)∈[

2

,1],

∴f′(1)∈[2,2].

答案:[2,2]

1

9.如图中,有一个是函数f(x)=

3

x

3

+ax

2

+(a

2

-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)

的图象,则f(-1)=________.

解析:∵ f′(x)=x

2

+2ax+(a

2

-1),

∴导函数f′(x)的图象开口向上.

又∵a≠0,∴其图象必为第(3)个图.

由图象特征知f′(0)=0,且-a>0,∴a=-1.

11

故f(-1)=--1+1=-.

33

1

答案:-

3

二、解答题

10.求下列函数的导数.

(1)y=(2x

2

+3)(3x-1);

(2)y=(x-2)

2

xx

(3)y=x-sin

2

cos

2

.

解析:(1)y′=(2x

2

+3)′(3x-1)+(2x

2

+3)·(3x-1)′=4x(3x-1)+3(2x

2

+3)=

18x

2

-4x+9.

(2)∵y=(x-2)

2

=x-4x+4,

xx1

(3)∵y=x-sin

2

cos

2

=x-

2

sin x,

11

∴y′=x′-(

2

sin x)′=1-

2

cos x.

1

11.设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为

x+b

y=3.

(1)求y=f(x)的解析式;

(2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积

为定值,并求出此定值.

解析:(1)f′(x)=a-

1

2a+

2+b

=3

于是

1

a-

2+b

2

=0

a=1

解得

b=-1

1

x+b

2

9

a=

4

8

b=-

3

.

由a,b∈Z,故f(x)=x+

1

.

x-1

1

(2)在曲线上任取一点(x

,x

+).

x

-1

x

-x

+1

11

由f′(x

)=1-知,过此点的切线方程为y-=[1-](x-

x

-1

2

x

-1x

-1

2

x

).

令x=1得y=

x

+1x

+1

,切线与直线x=1的交点为(1,).

x

-1x

-1

2

令y=x得y=2x

-1,切线与直线y=x的交点为(2x

-1,2x

-1).

直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).

1

x

+1

12

从而所围三角形的面积为

2

|-1|·|2x

-1-1|=

2

|||2x-2|=2.

x

-1x

-1

所以所围三角形的面积为定值2.

1

12.设函数f(x)=x

2

-aln x与g(x)=

a

x-x的图象分别交直线x=1于点A,B,

且曲线y=f(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)在点B处的切线斜率相等.

(1)求函数f(x),g(x)的解析式;

(2)当a>1时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值;

11

(3)当a<1时,不等式f(x)≥m·g(x)在x∈[

4

2

]上恒成立,求实数m的取值范围.

解析:(1)由f(x)=x

2

-aln x,

2x

2

-a

得f′(x)=

x

.

1

由g(x)=

a

x-x,

得g′(x)=

2x-a

.

2ax

又由题意可得f′(1)=g′(1),

2-a

即2-a=

2a

1

故a=2或a=

2

.

所以当a=2时,f(x)=x

2

-2ln x,

1

g(x)=

2

x-x;

11

当a=

2

时,f(x)=x

2

2

ln x,

g(x)=2x-x.

(2)当a>1时,

h(x)=f(x)-g(x)

1

=x

2

-2ln x-

2

x+x,

211

所以h′(x)=2x-

x

2

2x

2x-1x+1x-1

=-

x

2x

=(x-1)[

4xx+x+x+1-x

].

2x

4xx+x+x+1-x

>0.

2x

由x>0,得

故当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;

当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,

所以函数h(x)的最小值为

13

h(1)=1-2ln 1-

2

+1=

2

.

11

2

(3)当a=

2

时,f(x)=x-

2

ln x,

g(x)=2x-x.

11

当x∈[

4

2

]时,

2

1

4x-1

f′(x)=2x-

2x

2x

<0,

11

f(x)在[

4

2

]上为减函数,

111

f(x)≥f(

2

)=

4

2

ln 2>0.

4x-1

11111

当x∈[,]时,g′(x)=2-=>0,g(x)在[,]上为增函数,

4242

2x2x

12

g(x)≤g(

2

)=1-

2

1

且g(x)≥g(

4

)=0.

11

要使不等式f(x)≥m·g(x)在x∈[

4

2

]上恒成立,

111fx

当x=

4

时,m为任意实数;当x∈(

4

2

]时,m≤.

gx

2+2

fx

而[]

min

1

4

ln(4e),

gx

g

2

2+2

所以m≤

4

ln(4e).

实数m的取值范围为(-∞,

别想一下造出大海,必须先由小河川开始。

成功不是只有将来才有,而是从决定做的那一刻起,持续积累而成!

人若软弱就是自己最大的敌人,人若勇敢就是自己最好的朋友。

成功就是每天进步一点点!

如果要挖井,就要挖到水出为止。

2+2

4

ln 4e)

1

f

2

即使爬到最高的山上,一次也只能脚踏实地地迈一步。

今天拼搏努力,他日谁与争锋。

在你不害怕的时候去斗牛,这不算什么;在你害怕的时候不去斗牛,这没什么了

不起;只有在你害怕的时候还去斗牛才是真正的了不起。

行动不一定带来快乐,但无行动决无快乐。

只有一条路不能选择--那就是放弃之路;只有一条路不能拒绝--那就是成长之路。

坚韧是成功的一大要素,只要在门上敲得够久够大声,终会把人唤醒的。

只要我努力过,尽力过,哪怕我失败了,我也能拍着胸膛说:我问心无愧。

用今天的泪播种,收获明天的微笑。

人生重要的不是所站的位置,而是所朝的方向。

弱者只有千难万难,而勇者则能披荆斩棘;愚者只有声声哀叹,智者却有千路万

路。

坚持不懈,直到成功!

最淡的墨水也胜过最强的记忆。

凑合凑合,自己负责。

有志者自有千计万计,无志者只感千难万难。

我中考,我自信!我尽力我无悔!

听从命运安排的是凡人;主宰自己命运的才是强者;没有主见的是盲从,三思而

行的是智者。

相信自己能突破重围。

努力造就实力,态度决定高度。

把自己当傻瓜,不懂就问,你会学的更多。

人的活动如果没有理想的鼓舞,就会变得空虚而渺小。

安乐给人予舒适,却又给人予早逝;劳作给人予磨砺,却能给人予长久。

眉毛上的汗水和眉毛下的泪水,你必须选择一样!

若不给自己设限,则人生中就没有限制你发挥的藩篱。

相信自己我能行!

任何业绩的质变都来自于量变的积累。

明天的希望,让我们忘了今天的痛苦。

世界上最重要的事情,不在于我们身在何处,而在于我们朝着什么方向走。

爱拼才会赢努力拼搏,青春无悔!

脚踏实地地学习。

失去金钱的人损失甚少,失去健康的人损失极多,失去勇气的人损失一切。

在真实的生命里,每桩伟业都由信心开始,并由信心跨出第一步。

旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。

觉得自己做的到和不做的到,其实只在一念之间。

人的才华就如海绵的水,没有外力的挤压,它是绝对流不出来的。流出来后,海

绵才能吸收新的源泉。

没有等出来的辉煌;只有走出来的美丽。

我成功,因为我志在成功!

记住!只有一个时间是最重要的,那就是现在。

回避现实的人,未来将更不理想。

昆仑纵有千丈雪,我亦誓把昆仑截。

如果我们想要更多的玫瑰花,就必须种植更多的玫瑰树。

没有热忱,世间将不会进步。

彩虹总在风雨后,阳光总在乌云后,成功总在失败后。

如果我们都去做我们能力做得到的事,我们真会叫自己大吃一惊。

外在压力增强时,就要增强内在的动力。

如果有山的话,就有条越过它的路。

临中考,有何惧,看我今朝奋力拼搏志!让雄心与智慧在六月闪光!

成功绝不喜欢会见懒汉,而是唤醒懒汉。

成功的人是跟别人学习经验,失败的人是跟自己学习经验。

抱最大的希望,为最大的努力,做最坏的打算。

欲望以提升热忱,毅力以磨平高山。

向理想出发!别忘了那个约定!自信努力坚持坚强!

拼搏今朝,收获六月!

成功就是屡遭挫折而热情不减!

我相信我和我的学习能力!

生活之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。

好好使用我们的大脑,相信奇迹就会来临!

我们没有退缩的选择,只有前进的使命。

明天是世上增值最快的一块土地,因它充满了希望。

好好扮演自己的角色,做自己该做的事。

在世界的历史中,每一位伟大而高贵的时刻都是某种热情的胜利。

困难,激发前进的力量;挫折,磨练奋斗的勇气;失败,指明成功的方向。

拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力。

什么都可以丢,但不能丢脸;什么都可以再来,唯独生命不能再来;什么都可以

抛去,唯有信仰不能抛去;什么都可以接受,唯独屈辱不能接受。

今朝勤学苦,明朝跃龙门。

成功是别人失败时还在坚持。

踏平坎坷成大道,推倒障碍成浮桥,熬过黑暗是黎明。

每天早上醒来后,你荷包里的最大资产是24个小时。--你生命宇宙中尚未制造

的材料。

我奋斗了,我无悔了。

此时不搏何时搏?全力以赴,铸我辉煌!

一、填空题

1

1.已知曲线y=

x

上一点A(1,1),则该曲线在点A处的切线方程为________.

11

解析:y′=(

x

)′=-

x

2

,故曲线在点A(1,1)处的切线的斜率为-1,故所求的切

线方程为y-1=-(x-1),即为x+y-2=0.

答案:x+y-2=0

2.已知f(x)=x

2

+3xf′(2),则f′(2)=________.

解析:由题意得f′(x)=2x+3f′(2),

∴f′(2)=2×2+3f′(2),

∴f′(2)=-2.

答案:-2

3.若曲线f(x)=x

4

-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为

________.

解析:设P(x

,y

),∵f′(x)=4x

3

-1,

33

∴f′(x

)=4x

-1,由题意知4x

-1=3,

∴x

=1,则y

=0.即P(1,0).

答案:(1,0)

4.点P是曲线x

2

-y-2ln x=0上任意一点,则点P到直线y=x-2的最短距

离为________.

1

解析:y=x

2

-2lnx=x

2

-ln x,y′=2x-

x

11

令y′=1,即2x-

x

=1,解得x=1或x=-

2

(舍去),故过点(1,1)且斜率为1的

切线为:y=x,其到直线y=x-2的距离2即为所求.

答案:2

ππ

5.已知函数f(x)=f′(

4

)cos x+sin x,则f(

4

)的值为________.

ππππππ

解析:因为f′(x)=-f′(

4

)sin x+cos x,所以f′(

4

)=-f′(

4

)·sin

4

+cos

4

⇒f′(

4

)

=2-1,

πππππ

故f(

4

)=f′(

4

)cos

4

+sin

4

⇒f(

4

)=1.

答案:1

6.设直线y=-3x+b是曲线y=x

3

-3x

2

的一条切线,则实数b的值是________.

解析:求导可得y′=3x

2

-6x,由于直线y=-3x+b是曲线y=x

3

-3x

2

的一条

切线,所以3x

2

-6x=-3,解得x=1,所以切点为(1,-2),同时该切点也在直

线y=-3x+b上,所以代入直线方程可得b=1.

答案:1

7.等比数列{a

n

}中,a

1

=2,a

8

=4,函数f(x)=x(x-a

1

)·(x-a

2

)…(x-a

8

),则f′(0)

=________.

解析:f′(x)=x′·[(x-a

1

)(x-a

2

)…(x-a

8

)]+[(x-a

1

)(x-a

2

)…(x-a

8

)]′·x

=(x-a

1

)(x-a

2

)…(x-a

8

)+[(x-a

1

)(x-a

2

)…(x-a

8

)]′·x

所以f′(0)=(0-a

1

)(0-a

2

)…(0-a

8

)+[(0-a

1

)(0-a

2

)…(0-a

8

)]′·0=a

1

a

2

…a

8

.

因为数列{a

n

}为等比数列,所以a

2

a

7

=a

3

a

6

=a

4

a

5

=a

1

a

8

=8,所以f′(0)=8

4

=2

12

.

答案:2

12

sin θ3cos θ

8.设函数f(x)=

3

x

3

2

x

2

+tan θ,其中θ∈[0,

12

],则导数f′(1)的取

值范围是________.

解析:f′(1)=(sin θx

2

+3cos θ·x)|

x

1

π

=sin θ+3cos θ=2sin(θ+

3

).

∵θ∈[0,

12

],

ππ3π

∴θ+

3

∈[

3

4

],

π

2

∴sin(θ+

3

)∈[

2

,1],

∴f′(1)∈[2,2].

答案:[2,2]

1

9.如图中,有一个是函数f(x)=

3

x

3

+ax

2

+(a

2

-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)

的图象,则f(-1)=________.

解析:∵ f′(x)=x

2

+2ax+(a

2

-1),

∴导函数f′(x)的图象开口向上.

又∵a≠0,∴其图象必为第(3)个图.

由图象特征知f′(0)=0,且-a>0,∴a=-1.

11

故f(-1)=--1+1=-.

33

1

答案:-

3

二、解答题

10.求下列函数的导数.

(1)y=(2x

2

+3)(3x-1);

(2)y=(x-2)

2

xx

(3)y=x-sin

2

cos

2

.

解析:(1)y′=(2x

2

+3)′(3x-1)+(2x

2

+3)·(3x-1)′=4x(3x-1)+3(2x

2

+3)=

18x

2

-4x+9.

(2)∵y=(x-2)

2

=x-4x+4,

xx1

(3)∵y=x-sin

2

cos

2

=x-

2

sin x,

11

∴y′=x′-(

2

sin x)′=1-

2

cos x.

1

11.设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为

x+b

y=3.

(1)求y=f(x)的解析式;

(2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积

为定值,并求出此定值.

解析:(1)f′(x)=a-

1

2a+

2+b

=3

于是

1

a-

2+b

2

=0

a=1

解得

b=-1

1

x+b

2

9

a=

4

8

b=-

3

.

由a,b∈Z,故f(x)=x+

1

.

x-1

1

(2)在曲线上任取一点(x

,x

+).

x

-1

x

-x

+1

11

由f′(x

)=1-知,过此点的切线方程为y-=[1-](x-

x

-1

2

x

-1x

-1

2

x

).

令x=1得y=

x

+1x

+1

,切线与直线x=1的交点为(1,).

x

-1x

-1

2

令y=x得y=2x

-1,切线与直线y=x的交点为(2x

-1,2x

-1).

直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).

1

x

+1

12

从而所围三角形的面积为

2

|-1|·|2x

-1-1|=

2

|||2x-2|=2.

x

-1x

-1

所以所围三角形的面积为定值2.

1

12.设函数f(x)=x

2

-aln x与g(x)=

a

x-x的图象分别交直线x=1于点A,B,

且曲线y=f(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)在点B处的切线斜率相等.

(1)求函数f(x),g(x)的解析式;

(2)当a>1时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值;

11

(3)当a<1时,不等式f(x)≥m·g(x)在x∈[

4

2

]上恒成立,求实数m的取值范围.

解析:(1)由f(x)=x

2

-aln x,

2x

2

-a

得f′(x)=

x

.

1

由g(x)=

a

x-x,

得g′(x)=

2x-a

.

2ax

又由题意可得f′(1)=g′(1),

2-a

即2-a=

2a

1

故a=2或a=

2

.

所以当a=2时,f(x)=x

2

-2ln x,

1

g(x)=

2

x-x;

11

当a=

2

时,f(x)=x

2

2

ln x,

g(x)=2x-x.

(2)当a>1时,

h(x)=f(x)-g(x)

1

=x

2

-2ln x-

2

x+x,

211

所以h′(x)=2x-

x

2

2x

2x-1x+1x-1

=-

x

2x

=(x-1)[

4xx+x+x+1-x

].

2x

4xx+x+x+1-x

>0.

2x

由x>0,得

故当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;

当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,

所以函数h(x)的最小值为

13

h(1)=1-2ln 1-

2

+1=

2

.

11

2

(3)当a=

2

时,f(x)=x-

2

ln x,

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